Over taal en wiskunde

In een aardige blogpost beschreef de wiskundige Ionica Smeets gisteren de taalopvatting van haar vakgenoten:

Ik ken […] wiskundigen die de vraag ‘Wil je koffie of thee?’ steevast met een triomfantelijk ‘Ja’ beantwoorden. Mijn collega’s hebben een wat merkwaardig gevoel voor humor, en ze gebruiken taal anders dan de meeste mensen. Hun zinnen zijn logisch gezien volkomen correct, maar in de praktijk soms wat onhandig. Hoe kun je een gesprek met dit soort abstracte wezens voeren? En kun je ze toch nog te slim af zijn?

Hoe zit dat eigenlijk met wil je koffie of thee? Is het antwoord jainderdaad ‘logisch correct’ en moeten we dus concluderen dat de taal van niet-taalkundigen ‘(nu eenmaal) niet logisch’ is? Er is volgens mij iets anders aan de hand. Natuurlijke menselijke taal is niet speciaal minder logisch dan de symbolentaal van de wiskunde. Ze is alleen maar ingewikkelder.

De taal van de wiskunde heeft vooral minder dimensies dan de taal van alledag. Laten we bijvoorbeeld een wiskundige formule nemen en een zin die daar zogenaamd mee correspondeert:

•  2 + 2 = 4
• Twee plus twee is vier.

De wiskundige formule heeft twee dimensies: een betekenis (2 betekent ‘de opvolger van 1”) en een syntaxis, een systeem dat bepaalt hoe de symbolen zich tot elkaar verhouden. De syntaxis is een aparte dimensie van de semantiek;  je kunt dezelfde betekenis ook uitdrukken met een andere syntaxis, bijvoorbeeld de zogenoemde Poolse notatie:

•  =+2,2,4

De zin ’twee plus twee is vier’ heeft ook een betekenis, een semantiek (laten we even aannemen dat die hetzelfde is) en een syntaxis: Is plus twee twee vier is een syntactisch onwelgevormde zin in het Nederlands. Maar daarnaast heeft een natuurlijke zin nog minstens twee dimensies, die allebei hun eigen harde logica hebben.

Pluz drie

De eerste dimensie is een fonologische. Wiskundige symbolen zijn onveranderlijk: de + ziet er niet anders uit tussen 2 en 2 dan tussen 1 en 3. In natuurlijke taal passen symbolen wel voortdurend hun vorm aan. Het woord plus is bijvoorbeeld net iets anders in

• twee plu[s] twee

dan in

• een plu[z] drie

In het eerste geval staat de [s] naast een stemloze [t], en in het tweede geval naast een stemhebbende [d]. De logica van de fonologische dimensie vereist dan dat de twee klanken zich aan elkaar aanpassen (aampassen). Het woord is overkomt hetzelfde (i[s] twee, i[z] drie). De wiskunde heeft deze vormdimensie naast de syntaxis en de daarbij behorende logica niet.

Boer zoekt vrouw

Zo ontbeert de wiskunde ook de tweede betekenisdimensie van menselijke taal: de dimensie die wel pragmatiek genoemd wordt en waarin wordt uitgerekend wat een zin betekent in zijn context. Zoals een vorm in de fonologie kan veranderen, zo kan een betekenis dat ook. In het volgende dialoogje:

A – Aad en Jeannet gaan binnenkort uit elkaar.
B – Weet je dat zeker?
A – Ja, twee plus twee is vier.

doet A niet ineens een wiskundige uitspraak. De zin betekent iets heel anders, namelijk zoveel als ‘dat Aad en Jeannet uit elkaar gaan ligt heel erg voor de hand”. Er is tamelijk veel bekend over hoe je kunt uitrekenen (!) hoe die betekenis volgt uit de semantiek van zin (2+2=4) en de contekst.

Een van de principes is dat je er altijd vanuit moet gaan dat wat een spreker zegt betrekking heeft op het gesprek als geheel en daar waardevolle nieuwe informatie aan wil toevoegen. Aangezien het geen zin heeft om in een gesprek over Boer zoekt vrouw ineens over wiskunde te beginnen, moet je dus een betekenis zoeken die wat verder afligt van de semantiek.

Zoiets geldt ook voor Smeets’ voorbeeld: de vraag Wil je koffie of thee? vraagt semantisch (misschien) naar de voorkeur voor de disjunctie van koffie of thee, maar met het antwoord op die vraag kun je weinig beginnen. Ook dan kun je weer uitrekenen welke betekenis het dichtst in de buurt ligt en die wel zinnig is. (Het IILC van de Universiteit van Amsterdam is een van de centra van de wereld waar men de wiskundige logica van dit soort overwegingen onderzoekt.)

Is de wiskunde daarmee logischer? Ze is vooral platter. Dat heeft soms voordelen: je kunt met de relatief simpele wiskundige formules makkelijker rekenen dan met de ingewikkelde objecten die zinnen zijn. Maar een plat vlak noemen we ook niet ‘logischer’ dan een meerdimensionale ruimte.